13.7. Застосування похідної

 

Похідною як елементом математичного апарату широко послуго­вуються в різних науках. В алгебрі її здебільшого застосовують для дослідження функцій та побудови їх графіків, у геометрії - для зна­ходження рівняння дотичної. Похідну використовують у наближених обчисленнях, для наближеного розв'язування рівнянь, дослідження і відокремлення коренів рівнянь, спрощення виразів, доведення тотож­ностей і нерівностей, знаходження біноміальних коефіцієнтів і дове­дення формули бінома Ньютона. У фізиці за допомогою похідної об­числюють швидкість і прискорення, досліджуючи різні фізичні яви­ща, наприклад явища резонансу.

Застосування похідної для знаходження найбільших і найменших значень функцій на певному відрізку [а; b] дає змогу розв'язати ши­рокий клас прикладних задач. У таких задачах функція не задається в готовому вигляді, а за умовою задачі потрібно скласти співвідно­шення, яке пов'язує функцію з тими змінними, від яких залежить її найбільше чи найменше значення.

У шкільному курсі алгебри і початків аналізу на рівні обов'яз­кових результатів навчання обмежуються застосуванням похідної для дослідження функцій і побудови графіків, в геометрії - знаходжен­ням рівняння дотичної, прикладами застосування похідної у фізиці та розв'язанням певної кількості прикладних задач на знаходження найбільшого і найменшого значення функцій. Водночас на факульта­тивних заняттях, у гуртках, у класах з поглибленим вивченням мате­матики слід ознайомити учнів з іншими важливими застосуваннями похідної. Зокрема, використання похідної для наближених обчислень ефективніше здійснюється за умови попереднього розгляду поняття диференціала функції. Застосування похідної для виведення формули бінома Ньютона дає змогу ознайомити учнів з методом невизначених коефіцієнтів, який широко використовують в алгебрі, в математично­му аналізі [12]. Цікаві приклади застосування похідної для дослі­дження коренів кубічного рівняння та наближеного розв'язування рівнянь (метод дотичних, метод ітерацій, дослідження фізичних явищ, явище резонансу) можна знайти в посібнику [21], а приклади засто­сування для спрощення виразів, доведення тотожностей, нерівностей і наближених обчислень числа - в посібнику [64].

Застосування похідної для дослідження функцій. У курсах ма­тематичного аналізу вищої школи за допомогою похідної досліджують функції здебільшого на: 1) монотонність; 2) екстремум; 3) досягнення найбільших і найменших значень; 4) опуклість, угнутість та знахо­дження точок перегину.

У шкільному курсі алгебри і початків аналізу на рівні обов'яз­кових результатів навчання доцільно ознайомити учнів лише з першими трьома дослідженнями. До того під час дослідження функцій на екстремум досить обмежитися використанням лише першої по­хідної.

 

На основі розглянутих прикладів слід задати учням запитання: як за допомогою похідної сформулювати достатні умови зростання і спа­дання функції, які дадуть змогу знайти, не знаючи графіка функції, проміжки зростання (спадання) функції та використати їх для побу­дови графіка? Учні самостійно сформулюють зазначені достатні умо­ви. Потрібно звернути їхню увагу на те, що достатні умови є оберне­ними твердженнями щодо виявлених на графіках у = х2 і у = х3 властивостей функцій та їхніх похідних.

Щодо доведення в шкіль­ному курсі достатніх умов зростання і спадання функцій, то були спроби здійснити різні методичні підходи. Зокрема, в попередніх ви­даннях посібника [12] формулювалась і доводилась на основі озна­чення границі функції за Коші теорема про зростання і спадання функції в точці х0, а достатні умови зростання і спадання функції f на проміжку формулювались без доведення. Зазначалось, що таке до­ведення непередбачене програмою. У підручнику М. І. Башмакова [31] зв'язок між властивостями зростання і спадання функції та знаком її похідної встановлюється за допомогою механічного тлумачення похід­ної як швидкості руху матеріальної точки. У багатьох посібниках для середньої школи, зокрема й у [12], без строгого доведення, геомет­ричними міркуваннями запроваджується формула Лагранжа та на її основі доводяться достатні ознаки зростання і спадання функції на проміжку l. Крім того, наочний зміст цих ознак пояснюється меха­нічним тлумаченням похідної.

Важливо сформувати в учнів практичні навички застосування вив­чених теорем для дослідження різних функцій на монотонність. До­свід свідчить, що така робота відбувається ефективніше, якщо на при­кладі дослідження однієї-двох функцій сформулювати відповідний алгоритм.

Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції, потрібно:

1) знайти область визначення функції та точки розриву;

2) знайти похідну;

3) записати і розв'язати нерівність f'(x) > 0 і вибрати із множини її розв'язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції;

4) записати нерівність f(x) < 0 і вибрати із множини її розв'язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції.

Зауважимо, що коли функція неперервна в будь-якому з кінців проміжку зростання (спадання) функції, то такий кінець можна приєднати до цього проміжку.

Дослідження функцій на максимуми, мініму­ми, найбільші та найменші значення. Спочатку по­трібно ввести низку нових для учнів понять, які відразу використовува­тимуться. Йдеться про поняття: точка максимуму функції, точка мініму­му функції, точка екстремуму, максимум функції, мінімум функції, ек­стремуми функції. Досвід доводить, що деякі учні плутають поняття «точка максимуму функції» та «максимум функції», «точки екстремуму функції» й «екстремум функції». Слід спеціально підкреслити, що коли йдеться про точки максимуму (мінімуму), точки екстремуму функції, то мається на увазі значення аргументу, а в разі використання понять максимум (мінімум), екстремум - йдеться про значення функції. Важливо також наголосити, що максимум і мінімум (екст­ремуми) характеризують поведінку функції в як завгодно малому околі точки Xq, а не на всій області визначення чи на її частині, де визначений максимум функції в певній точці може виявитись мен­шим від мінімуму в іншій точці. Вводячи поняття найбільшого і най­меншого значень функції, потрібно ще раз підкреслити, що останні два поняття характеризують поведінку функції на певному відрізку [а; Ь]. Під час запровадження поняття «критичні точки функції» особ­ливу увагу слід звернути на ті критичні точки, в яких похідна не існує, проілюструвавши їх відповідним графіком.

Принциповими в цій темі є три твердження, які виражають не­обхідну (теорема Ферма) і достатні умови існування екстремуму функ­ції в точці. Практика свідчить, що доведення зазначених теорем не спричинюють в учнів особливих труднощів. Можна дати обґрун­тування достатніх умов екстремуму, послуговуючись механічним тлу­маченням функції у = f (x) як закону руху матеріальної точки, та по­хідної f'(x) як швидкості руху [31].

Для розв'язування вправ на знаходження точок екстремуму функ­ції стане в пригоді алгоритмічний підхід. Доцільно після вивчення достатніх ознак сформулювати алгоритм дослідження функцій на екс­тремум.

Для того щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:

1) знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну f'(x), роз­в'язати отримане рівняння і приєднати до коренів рівняння f'(x) = 0 точки, в яких похідна не існує;

2) розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання;

3) дослідити знак похідної f'(x) спочатку ліворуч, а потім право­руч від кожної критичної точки. Якщо з переходом х через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то в цій кри­тичній точці функція у = f (х) має максимум; якщо знак f'(x) змінюється з «-» на «+», то в цій точці функція у = f (x) має мінімум. Якщо з переходом х через критичну точку похідна f'(x) не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму;

4) обчислити максимуми та мінімуми функції, підставивши в фор­мулу у = f(x) значення точок максимуму і точок мінімуму.

 

 

Оскільки задачі на знаходження проміжків зростання (спадання) й екстремумів функцій пов'язані між собою, то можна сформулювати алгоритм одночасного розв'язування цих обох задач, який зручно ви­користовувати під час загального дослідження функцій і побудови їх графіків.

Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) й екстрему­ми функції, потрібно:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти критичні точки функції, розмістити їх в порядку зрос­тання і занести до таблиці разом із проміжками, на яких функ­ція визначена;

3) за контрольними точками знайти знак похідної на кожному з отриманих проміжків;

4) визначити за знаком похідної характер зміни (зростання чи спадання) на кожному з проміжків;

5) виявити наявність екстремуму в кожній критичній точці та об­числити його.

 

 

Розв'язуючи вправи на відшукання найбільшого і найменшого зна­чень функції y = f(x) на відрізку [а;Ь], потрібно враховувати таке: оскільки неперервна функція обов'язково набуває найбільшого (най­меншого) значення і воно може досягатися тільки в стаціонарних точ­ках і на кінцях відрізка, то немає потреби перевіряти достатні умови існування екстремуму функції в стаціонарних точках. Досить обчислити значення функції в цих точках і порівняти їх зі значеннями функції на кінцях відрізка. Тут також доцільно навести алгоритм, який скла­дається з трьох кроків:

1) знайти всі критичні точки функції на відрізку а; b;

2) обчислити значення функції в усіх критичних точках і на кін­цях а і Ь відрізка;

3) з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше.

Розв'язування текстових задач на знахо­дження найбільших і найменших значень. Обчис­люючи найбільші та найменші значення в практичних задачах, слід навести учням правило-орієнтир розв'язування таких задач:

1) проаналізувати формулювання задачі; з'ясувати, найбільше (най­менше) значення якої величини потрібно знайти; вибрати неза­лежну змінну (аргумент) х і записати цю величину у вигляді фор­мули, що задає відповідну функцію;

2) знайти найбільше та найменше значення цієї функції.

Часто в таких задачах може виявитися, що досліджувана величина залежить від двох змінних, наприклад х і t. У такому разі шукають співвідношення, яким пов'язані між собою ці змінні, і виражають од­ну змінну через іншу.

Слід звернути увагу учнів також на те, що в багатьох задачах уже за умовою можна визначити характер критичної точки, не досліджу­ючи знака похідної ліворуч і праворуч від неї. Проте в деяких зада­чах без такого дослідження обійтися неможливо. Доцільно розгляну­ти задачі обох видів.